Никто не имеет права требовать от вас, Федор Борисович, выплаты стоимости принадлежащей теще доли в вашей общей квартире. Единственно, что нужно в данной ситуации, так это заплатить установленный законодательством сбор за переоформление документов о праве собственности на квартиру. Приватизируя ее, вы бесплатно получили ее в общую долевую собственность. И, если умирает один из участников общей долевой собственности, то возникает право наследования. Опять же не всей квартиры, а лишь доли умершего. Наследниками по закону являются в равных долях переживший супруг, все дети от всех браков и родители.
В вашем случае наследником одной трети квартиры стала ваша жена, если у умершей больше не было детей и нет мужа. Чтобы квартира стала вашей собственностью, жена должна принять это наследство. Можно не обращаться к нотариусу и получить свидетельство о праве на наследство. Но обязательную государственную регистрацию пройти надо. Без нее в дальнейшем возникнет много сложностей, если вы захотите, допустим, распорядиться квартирой как своей собственной: продать ее, подарить, отдать в залог и т.п. За регистрацию, собственно, и придется уплатить установленный сбор.